Parmi les nombreux "paradoxes" ou résultats surprenants dans le
domaine des sciences à propos de "l'infini" , figure entre autres
celui-ci :
une étendue , une surface peut être illimitée , infinie , tout en
ayant un terme dont la mesure reste finie ; vous avez par
exemple un champ infini , bordé d'un clôture "infinie", mais les
animaux que vous pourriez mettre à l'intérieur pourraient ne
paître qu'une parcelle de mesure finie , un hectare par exemple .
Cela paraît à priori assez contre-intuitif , car on s'attend à ce
que en s'éloignant "à l'infini" , la surface de pâture devienne
aussi infinie . Eh bien non , cela n'est pas systématique , cela
peut être vrai dans certains cas et faux dans d'autres .
Si on prend par exemple les deux clôtures qui bordent un champ
dans la direction où il s'étend à l'infini , à une
distance de 1/x^2 l'une de l'autre , où x mesure la distance
franchie depuis l'origine du déplacement , des calculs simples
donnent pour la mesure de cette surface la valeur de 1 unité
( par exemple un hectare si votre unité de longueur est le
"100 mètres" ) : et cela aussi loin que vous puissiez aller dans
la direction concernée ..
Un autre exemple simple peut encore être donné : en plaçant à
partir d'une origine donnée des carrés jointifs par un côté , de
côté 1 pour le premier , 1/2 pour le deuxième , 1/4 pour le
troisième , 1/8 pour le suivant , etc .. et ceci indéfiniment ,
l'étendue ainsi obtenue aurait une mesure finie ...Laquelle ?
Un peu technique , il s'agit d'additionner :
1 + 1/4 + 1/16 + 1/64.... +1/2^n ( nième étape) + .... , qui
donne comme valeur 1/(1 - 0,25) = 4/3 d'unité ( formule des
suites géométriques , disons niveau seconde ou première ).
La surface ainsi obtenue "augmente" régulièrement et s'étire à
l'infini, tout en ayant une étendue de pâture dont la mesure
reste inférieure à 4/3 d'unité .
Il faut donc faire attention à bien différencier ici la notion
d'étendue , qui peut être infinie , et ce qui mesure l'étendue ,
qui peut être fini ( ici 4/3 d'unité) .
Ceci amène une première observation : entre une chose et la
mesure de la chose , il peut y avoir des ordres de grandeur
totalement différents , et entre deux mesures de la chose aussi,
suivant ce que l'on mesure :
dans l'exemple ci-dessus , si l'on mesure la longueur de la
clôture entourant le champ (son périmètre) , cette longueur est
infinie ...si l'on mesure la surface du champ , cette surface
est finie ... et la chose elle-même est à la fois l'une et
l'autre ou ni l'une ni l'autre (cela peut nous amener à la
physique quantique , où la lumière mesurée suivant certains
critères est onde , selon d'autres critères , particules ,
la lumière étant à la fois l'une et l'autre , ou ni l'une ni
l'autre , c'est à dire quelque chose qui prend l'aspect de
l'une ou de l'autre , mais qui est au-delà de ces aspects ..)
Donc prudence quand nous projetons des jugements , qui ne sont
que des mesures de ce que nous évaluons d'une chose ....surtout
quand nous projetons des dogmes , des caté-schismes , ... nous
sommes souvent catéchumènes d'églises ou de temples , de partis
ou de lobbies , dispensant des propos totalement fallacieux ...
Refermons cette porte entr'ouverte ..c'est à chacun d'apporter
des développements qui peuvent aller du fini à l'infini sur ce
genre de thème ...
Une deuxième observation réalisable est que l'exemple de ces
champs de pâtures introduit aux notions de sommes infinies
qui ont une valeur finie : si vous parcourez un chemin en
franchissant à chaque étape la moitié de la distance vous
séparant du terme , on pourra dire que vous effectuez un nombre
d'étapes pratiquement infini , avec une longueur du parcours
finie ... une somme du genre 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...comporte
un nombre infini de termes , mais sa valeur est finie (et vaut 1)
... c'est le paradoxe de Zénon : le nombre d'étapes est
infini , la longueur du parcours est finie , l'infini n'étant
pas atteignable , Achille ne rattrapera jamais la tortue ...
sauf que l'on amalgame deux aspects différents d'une même chose
comme pour la mesure du champ : le nombre d'étapes ("infini") et
la longueur du parcours (finie) ..de sorte qu'Achille rattrapera
effectivement la tortue ...
Un des autres paradoxes d'utilisation "particulière" de la notion
d'infini est l'exemple de la somme suivante :
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ..........
Si on écrit S = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +..... on obtient
pour la valeur de S = 0 .
Si on écrit S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 .....) = 1 - S , on
obtient la valeur de S telle que 2S = 1 , d'où S = 1/2 .
D'où il découlerait que 0 = 1/2 ...
On pourrait appeler ceci le "deuxième paradoxe de Zénon" , dans
mauvaise utilisation de la notion d'infini .
D'ailleurs en cherchant bien , on peut introduire l'infini dans
une mesure particulière de n'importe quel objet qui nous entoure,
suivant en particulier la méthode de Zénon ,
de sorte que suivant ce mode de raisonnement , aucun objet
n'existerait ....on peut énoncer ce théorème :
" A couper des cheveux en quatre , et ceci indéfiniment , on
arrive à démontrer n'importe quoi , et son contraire " ..
ou encore :
Théorème 2 : "toute chose pouvant toujours présenter un aspect
infini dans la mise en place d'une de ses mesures , n'existerait
pas , puisque pour atteindre la chose , on devrait passer par
l'infini , qui est inatteignable " .