René Thom fut médaille Fields en 1958 ( après la médaille Fields de Laurent Schwartz en 1950 et celle de Jean Pierre Serres en 1954 ) . Il a développé sa recherche sur des situations de rupture de continuité , provenant de toutes sortes de phénomènes , dans les années 60 et en publia les résultats au début des années 70 .

Les résultats en sont connus sous le nom de "Théorie des catastrophes" , le mot "catastrophe"

étant entendu comme la manifestation d'une rupture de continuité dans l'observation d'un phénomène , quel qu'il soit.

Comme la théorie peut être abordée de plusieurs point de vue , nous prendrons celle qu'il a lui-même adoptée dans les années 90 . Citons-le :

"Lorsqu'un espace est soumis à une contrainte , c'est-à-dire lorsqu'on le projette sur quelque chose de plus petit que sa propre dimension , il accepte la contrainte , sauf en un certain nombre de points où il concentre , si l'on peut dire , toute son individualité première . Et c'est dans la présence de ces singularités que se fait toute la résistance " ("Prédire n'est pas expliquer" p 23)

"Pour moi , n'importe quelle discontinuité dans les phénomènes est une catastrophe" (p 28)

"Précisément ,l'essence de la théorie des catastrophes est de ramener des discontinuités apparentes à la manifestation d'une évolution lente sous-jacente . Le problème est alors de déterminer cette évolution lente qui , elle , exige en général l'introduction de nouvelles dimensions ,de nouveaux paramètres " ( p 62 )

Voilà assez succinctement posé le problème , dont nous donnons un exemple , déjà repris dans l'article no 2 sur "Eloge des mathématiques" ( A.Badiou) :

Vous prenez un fil , un câble , un cordon ..... que vous éclairez ( d'un peu loin ) par une lampe . En vous y prenant bien , vous verrez que l'ombre projetée sur le plan de votre bureau peut présenter à un endroit un aspect pointu ( un pic ) , alors que le fil dans l'espace est parfaitement arrondi .Ceci est bien une "catastrophe" , la projection de l'ombre sur le plan du bureau a réalisé une rupture dans l'allure , la représentation du fil : la régularité du fil a été rompue par la projection . En réintroduisant la troisième dimension de l'espace que vous n'avez pas dans le plan , le phénomène retrouve sa continuité .

Deuxième exemple : vous faites une compression "à la César" d'une voiture ou de tout autre objet : l'écrasement de l'objet sur un plan provoque des plis , des cassures , des chevauchements qui n'étaient pas au départ : la projection a provoqué une "rupture" (!) dans l'allure de l'objet .

Prenons un autre exemple : vous parlez et retranscrivez ce que vous dites sur une feuille : le dernier mot de la fin d'une ligne est brusquement séparé du mot suivant par le retour à la ligne , alors qu'en parlant les deux mots se suivaient bien : en projetant vos propos sur le plan de la feuille , vous avez provoqué une nouvelle "catastrophe" , qui se résorbe lorsque vous revenez à la dimension de vos propos dans l'espace .

Dernier exemple : le temps "terrien" connaît une brusque rupture quelque part au milieu du Pacifique sur un méridien qui va du pôle nord au pôle sud . En franchissant la ligne du méridien approprié , vous vous retrouvez soudain avec un jour de plus , ou de moins ( suivant le sens du franchissement ) : il y a une brutale rupture de continuité du temps "terrien" , alors que quelqu'un qui vivrait dans l'espace sans liaison avec la Terre aurait un temps continu ; c'est la projection du temps en l'astreignant à la surface de la Terre qui provoque cette discontinuité ( Voir "Le tour du monde en 80 jours" et Philéas Fogg ! ) .

Le propos de René Thom dans sa théorie des catastrophes a été d'établir une "typologie" des catastrophes qui peuvent se produire dans toutes sortes de domaines ( toutes les fois qu'il y a une "rupture" , une discontinuité , dans la représentation d'un phénomène ) . Ce faisant , comme il le dit lui-même , en ramenant ces discontinuités à la manifestatin d'une évolution sous-jacente dans un espace de plus vaste dimension .

Passons sur les difficultés de l'entreprise ......., et arrivons aux résultats .

La classification de Thom fait apparaître 7 catastrophes élémentaires , dont on n' examinera ici que les deux plus habituelles :

La plus simple est le pli . Etendons un tapis de longueur "infinie"sur le sol puis regardons la situation suivant le plan du sol : on voit un seul trait , qui correspond à la largeur du tapis .Il y a là une discontinuité de représentation , le tapis vu du ras du sol est réduit à un segment de droite ( sa largeur ) : c'est ce qui est appelé un "pli" ; faites onduler le tapis sur le sol : toujours vu du ras du sol , le tapis est vu comme une bande comprise entre le pli le plus haut et le sol ; admettant qu'on puisse voir par transparence ce qui se passe dans le tapis , on verra n lignes horizontales correspondant aux n plis réalisés : il y a là l'illustration de n "catastrophes" élémentaires , correspondant aux n plis effectués .

Ainsi , un segment de droite , ou n segments de droites , sont des catastrophes élémentaires , qu'on peut "régulariser" par un processus continu en imaginant par exemple le processus du tapis .

Deuxième exemple : faites défiler sur un enregistreur la succession de n jours et de n nuits :trait blanc pour le jour , noir pour la nuit . On voit alors n traits noirs , n traits blancs qui se succèdent , soient 2n catastrophes élémentaires dites "plis" ; s'imaginer "régulariser" la situation par le processus du "tapis" est là assez artificiel : ici , les processus continus qui "régularisent" la situation dans l'espace sont "un peu" plus compliqués ; c'est la rotation de la terre sur elle-même , éclairée par le soleil .

Dernier exemple : vous marchez sur du sable : la trace de vos pas est un processus discontinu , du même type que les 2 précédents , alors que le "phénomène" qui les produit ( le marcheur) fonctionne de façon continue , mais est totalement différent des 2 précédents ( rotation de la terre ou tapis) .

Sur ces 3 exemples , on voit la limitation de la théorie : il ne s'agit pas d'expliquer le processus qui "régularise" la discontinuité apparente (il peut y en avoir autant qu'on veut : le "tapis" , la "rotation de la terre" , un marcheur , etc ...) , mais uniquement de décrire le type de discontinuité qu'on peut obtenir , soit ici un "pli",ou un succession de "plis"

Le deuxième exemple est la "fronce" . Froncez un rideau à l'horizontal , puis en maintenant la partie supérieure "froncée" à l'horizontale , faites pendre le rideau : le passage d'une direction à l'autre fait apparaître une rupture dans la situation initiale du rideau , cette rupture est appelée "fronce" et à l'allure d'un ou de plusieurs V , plus ou moins évasés suivant le degré de rigidité du "rideau" .

Ici , la discontinuité qui apparaît n'est plus une "fausse" discontinuité liée au processus de représentation utilisé , c'est une vraie discontinuité . On peut toujours la "régulariser" par un processus continu en refaisant les transformations inverses des transformations réalisés sur le rideau .Mais l'objet de la théorie des catastrophes n'est pas de décrire ou d'expliquer le processus de "régularisation" qui permet de remonter du discontinu au continu ; son objet est seulement de décrire le type de discontinuité qu'on peut obtenir : ici un (ou plusieurs) V aigu avec des bords plus ou moins évasés .

L'exemple du fil dont l'ombre se projette sur un plan en faisant apparaître un pic est un deuxième exemple (déjà évoqué ci-dessus ) , qui correspond alors à une "fronce" ( encore appelé point de rebroussement ) : là , c'est simplement une discontinuité de représentation , lorsqu'on a projeté l'image du fil ( arrondi dans l'espace ) sur un plan , où la représentation "rebrousse " son chemin. .

Troisième exemple de la vie "courante" (à vélo ...) : observons la position d'un pied ( ou d'un point) sur le pédalier lorsque le vélo avance ; il y a alors une succession d'arches reliées entre elles par les placements du pied en positions basses , où les arches "rebroussent" chemin ; ce rebroussement se fait exactement suivant un V dont la pointe "pique" verticalement ( facile à vérifier avec un vélo... en poussant le vélo à la main de préférence .....plutôt qu'en roulant sur une route en regardant son pied ..)

Là , la discontinuité , bien réelle , est elle aussi provoqué par un processus continu ( la personne sur le vélo , qui pédale ; on peut à nouveau "régulariser" la discontinuité par un processus continu dans l'espace ).

Finalement , Thom a décrit les 7 "catastrophes" qui peuvent se produire , en faisant apparaître les discontinuités correspondantes comme régularisables par des processus qui sont continus , mais dans des espaces plus vastes (de dimension 2 , 3 , ou 4) : ces discontinuités sont les "traces" de ces processus continus , quand ils sont projetés sur les espaces plus restreints .

Une seule restriction imposée par la théorie pour être applicable : les phénomènes qui produisent les traces discontinues doivent suivre une loi de potentiel , comme pratiquement tous les mouvements observables ( les vents vont d'un potentiel "haute pression" vers un potentiel "basse pression" , votre frigo , votre voiture , fonctionnent entre 2 sources de chaleurs , un objet chute d'un potentiel "haut" vers un potentiel "bas" , etc ...) .

Autre restriction imposée : la théorie n'explique pas comment ces traces se produisent et quels sont les phénomènes qui sont derrière ces traces : les mêmes traces peuvent provenir d'un grand nombre de phénomènes différents , comme nous l'avons vu pour des successions de pas , ou de traits "blancs" et "noirs" .

Tout ceci nous amène aussi à une observation déjà notée dans l'article d'Alain Badiou : il y a le niveau de connaissances de ce que la raison peut établir (Niveau 2 de Spinoza ) , puis un niveau 3 où des phénomènes échappent à nos représentations et font appel à un contact plus global , plus "intime" avec le "réel" : quand un phénomène donne une observation "discontinue" , le phénomène lui-même est-il discontinu ?  Dans de nombreux cas il ne l'est pas , nous dit René Thom .Mais on doit d'abord passer par le stade de la raison pour avancer vers un niveau de connaissances plus général...........

Eloge des Mathématiques  No 2

Dans le premier compte rendu , il était donné un aperçu général de l'ouvrage d'Alain Badiou .

On en avait conclu qu'une approche rigoureuse dans le raisonnement était ce qui séparait la philosophie  de toute autre argumentation  de sophistes , et que cette rigueur , de Platon à Descartes , Spinoza , Kant et beaucoup d'autres , était la pierre angulaire qui distinguait la philosophie des "imposteurs" philosophes .

Disons d'abord que le terme d'"imposteur" est pris dans son sens étymologique : il s'agit de personnes qui sont "en posture" , qui sont dans un "jeu de rôle" , qui jouent à ce rôle parce qu'il y a un auditoire , mais qui se soucient très peu de savoir si la discussion à un intérêt en elle-même : on dirait actuellement qu'ils font de "la com" ( aussi bien "communication" que "comédie" ) .

Il n'y a pas de problème à faire de la "com" , à condition de ne pas être dupe de la situation , et de ne pas vouloir faire passer cela pour de la philosophie .

Tout le problème est bien là : de nos jours , cette "communication – comédie" a pris une telle ampleur qu'elle s'invite dans tous les domaines de l'activité , qu'elle a des écoles et des loges destinées à son apprentissage , comme au temps de la splendeur athénienne , et que plus personne ne prête attention aux conséquences à moyen – long terme de ses propos ; le tout est de bien savoir "vendre " ses dogmes , aussi arbitraires qu'ils puissent être , au grand dam du citoyen lambda qui traduit en se disant : " jusqu'où va-t-on continuer à jouer aux imbéciles ?".

Citons à ce propos une formulation d'Alfred Adler (disciple de Freud ) trouvée dans le blog de Roland Jacquard : on peut reconnaître les personnes qui perdent la tête au seul fait qu'elles prennent des fictions pour des dogmes .

Devant une telle situation de "perte de repères" , on cherche le Platon contemporain qui aiderait à redresser la "barre" ; Alain Badiou propose , dans "son éloge des mathématiques" , l'attitude constructive suivante :

d' avoir d'abord une volonté d'être le plus largement ouvert au monde , de connaître le plus précisément les sujets dont on parle .

D' en revenir ensuite à une pensée structurée et logique que l'apprentissage des mathématiques entraîne au mieux ( évoquant Kant qui estimait que sans mathématique , il n'y avait pas de philosophie ).

Citons également Spinoza ( déjà évoqué dans le compte – rendu No1 ) :

Pour Spinoza , il y a trois stades de la connaissance :

Le premier est celui que nous qualifierons "d'infra – rationnel" ( "un mélange de représentation sensible et d'imagination , soit l'ignorance ordinaire" , c'est à dire le stade de la "com") ;

le deuxième est celui de la connaissance rationnelle ;

le troisième stade est celui qu'on peut qualifier de "supra – rationnel" ( celui d'une connaissance qui après être passée par le rationnel , mais après seulement , atteint le niveau d'un contact intuitif , plus global , avec les réalités ) .

Donnons quelques exemples de l'utilité d'une réflexion "structurée" par une rigueur de la pensée .

Tout le monde connaît à peu près le paradoxe de Zénon d'Elée , (d' Achille et de la tortue ) : Achille court après une tortue qu'il ne rattraperait jamais , puisqu'à chaque étape , il franchit la moitiè de la distance qui le sépare de la tortue , et que de moitié en moitié , il lui reste toujours une dernière moitié à franchir qu'il ne franchira jamais .( on peut prendre le même modèle avec un escargot qui avance vers un mur , ou vous qui avez une course de 10 km à faire en voiture , etc...) : la stratégie astucieuse de Zénon est la suivante : je divise le parcours à effectuer en une infinité d'étapes ( la moitié de la moitié de la moitié de la moitié , .....etc...) et après je dis qu'il est impossible à une personne de franchir une infinité d'étapes , l'infini n'étant pas du domaine des capacités humaines ..... et le tour est joué ! Le dogme sous-jacent ( il est impossible à un être humain de franchir une infinité d'étapes ) se révèle ainsi très efficace , ......mais faux ! On sait en mathématiques diviser n'importe quel parcours en des infinités d'étapes , et que cela ne constitue pas en soi un obstacle pour évaluer la distance à franchir , ni son franchissement ; que multiplier quelque chose qui tend vers 0 par quelque chose qui tend vers l'infini peut tendre ...vers n'importe quoi , suivant les cas ( par exemple 1/2n multiplié par n sera toujours égal à 1/2 , que n tende vers l'infini ou non , etc..) ; attention dans les manipulations de l'infini !

Le "théorème de la rumeur" peut être un 2eme exemple , qu'on intitulait en latin "ex falso quod libet" ( du faux , on peut prouver n'importe quoi ; rappel étymologique au passage : "quod libet" s'en transformé en "quolibet"..) : par exemple , les éléphants verts sont rendus invisibles quand ils montent dans les arbres ( avez vous déjà vu un éléphant vert dans un arbre ? Non? Alors c'est bien qu'ils sont rendus invisibles quand ils montent dans les arbres ) ;

ou encore : 2x0 = 3x0 , on divise par 0 , donc 2 = 3 ;

ou : soit M le plus grand des nombres ; alors M+1 est un nombre , plus grand que M ; mais comme M est le plus grand des nombres , M+1 ne peut pas dépasser M , donc M+1 = M et par simplification par M on en déduit que 1= 0

En définitive , l'apprentissage et la fréquentation de la rationalité par l'intermédiaire des mathématiques et des sciences permet de prendre conscience d'un certains nombres de choses :

que les tours de passe- passe ci-dessus sont bien repérés et connus , ce qui met en garde contre les dérives et les abus de syllogismes , paralogismes et sophismes divers dont nous abreuvent certains tenants de la " com" intensive .

Qu'il y a tout de même des choses qui sont démontrables et vraies , à l'inverse de ce que prétendent certains dogmes de la relativité absolue des vérités ; tout n'est pas relatif , incertain , flou , arbitraire , il y a des bases et des raisonnements qu'on ne peut pas contester , on doit revenir les pieds sur terre à certaines occasions et ne pas prêcher n'importe quoi .

C' est la position déjà évoquée de Platon , Descartes , Spinoza et de tant d'autres , que le passage par cette rationalité structurante est essentielle et indispensable .

Les observations d'Alain Badiou s'arrêtent là , il ne fait qu'entrouvrir la porte qui conduit au stade d'une connaissance supra-rationnelle , "transcendantale" envisagée par Platon , Spinoza , Kant ou d'autres .

Ouvrons pour terminer un peu plus cette porte , elle aussi largement ouverte pas les mathématiques et les sciences :

Déjà , Gödell a démontré qu'une petite partie des "vérités" établies à l'intérieur de certains systèmes logiques seulement était démontrables , et qu'une grande partie de ces vérités étaient indémontrables .

Ensuite la théorie du chaos a établi , à partir des bases de Henri Poincaré , qu'un certain nombre de prévisions étaient irréalistes , même dans le cas de systèmes physiques pourtant simples , comme par exemple les interactions entre trois planètes ,( à plus forte raison dans la géopolitique !) .

Puis l'idée de modèle mathématique précise bien que ce qui est modélisable n'est qu'un jeu d'hypothèses tissé à partir d'axiomes et de raisonnements trés structurés , mais que vouloir lancer ce filet sur la réalité a certains aspects aléatoires ( nous n'avons que l'ombre des phénomènes sur les parois de la caverne comme le dit Socrate : ou que les "noumènes" des "phénomènes" comme le rappelle Kant ) .

Rappelons aussi pour terminer que René Thom ( autre médaille Fields de mathématiques ) , bien que contestant formellement l'idée de chaos , a introduit dans sa théorie des "catastrophes" le distinction entre une discontinuité perçue , et une discontinuité réelle : une discontinuité perçue dans le cas de certains phénomènes peut être vue comme une continuité d'un autre point de vue : vous observez l'ombre d'un fil projetée par une lumière , si vous vous y prenez bien , vous verrez une ombre formant un pic à un endroit , alors que votre fil dans l'espace est parfaitement arrondi .

La projection dans un plan de l'ombre a introduit une "rupture" de l'image du fil dans l'espace .

Ainsi le "regard" des sciences aboutit-il finalement à cet élargissement de la vue , qui n'est paradoxe que pour ceux qui n'ont pas pénétré l'esprit des sciences :

"Le contraire d'une vérité profonde est une autre vérité profonde" disait Niels Bohr , mais aussi Pascal dans une formulation voisine .

"Prédire n'est pas expliquer" (René thom)

Le démontrable n'est qu'une toute petite parcelle du champ des vérités ( démonstrations de Kurt Gödell)

Le "Rationnel" n'est peut-être pas la totalité de nos possibilités de connaissances , puisque déjà par lui-même il ouvre la porte à une transcendance , mais c'est un stade par lequel il est indispensable de passer pour éviter des dérives qui conduisent vers les sophismes , la "com" , l'artificialité des pseudos discours pseudos logiques , les démagogies de toutes sortes , et "l'anti théorème de Gödell": "en s'y prenant bien et en utilisant suffisamment de situations "à la marge" , on peut "démontrer" n'importe quoi " .

Pour avoir trop bien appliqué cet anti-théorème , nos docteurs folamour de ces 40 dernières années ont réussi ce tour de force "progressiste" :

 l'ascenseur social fonctionne de plus en plus mal , (mais on y supplée par une "politique de quota" .....) ;

l'irrationalisme fait simultanément une intrusion de plus en plus manifeste dans le quotidien .

Semez l'irrationalité , devinez ce qui pousse ......

Qui veut faire l'ange fait la bête .

Ainsi d'un mouton à deux têtes ,

qui de l'une conte fleurette

d'une douce voix aigrelette ;

de l'autre , Serpent à sornettes

Ces serpents qui crachent du feu

vont moutons à la queue-leu-leu

attiser brasiers de papiers

et aux Temples s'agenouiller

Dévots terribles s'il en est

dragons , moutons ou haridelles

véritable arche de Noé

prosélytes sempiternels

Tintinnabulant de l'ego

en des échos qui s'amenuisent

quand aux abords de la franchise

paissent les moutons au troupeau

Ainsi va toujours le tango

aux houlettes de leurs propos :

ce qui est à toi est à moi

ce qui est ma loi est à toi                                      Avril 2018